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Inicio Estadística Coeficiente de correlación Coeficiente de correlación parcial por rangos y Coeficiente de concordancia de Kendall

Coeficiente de correlación parcial por rangos y Coeficiente de concordancia de Kendall

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En la teoría de la correlación, cuando se trata de dos variables, es fácil entender que ante la existencia de un coeficiente cercano a +1 o -1, resulta evidente una asociación y una dependencia entre ambas; en cambio, si a esas variables se agregan una o más, se debe conocer cuál de ellas es la independiente y el grado de correlación que existe entre las demás; por ejemplo: los niños cuando aumentan de edad, también aumentan su peso, pero puede haber un incremento de peso, aunque no necesariamente de edad, o un decremento de peso y no de edad, pero siempre a mayor edad se espera mayor peso. Por lo tanto, el peso depende de la edad. Si a estas dos variables, se agregan la talla, la superficie corporal, etc., se deberán definir tanto la correlación como la dependencia existente entre ellas.

El análisis de correlación parcial por rangos de Kendall permite llegar a conclusiones al respecto, cuando las observaciones tienen una escala ordinal.

Las ecuaciones de la correlación parcial de Kendal son diversas, de acuerdo con el número de variables incluidas. En esta sección se proponen tres variables, por lo cual serán tres fórmulas aplicables:

El significado de las tres ecuaciones da a entender qué correlación existe entre dos variables cuando una de ellas se mantiene sin cambio alguno. Las literales que se encuentran en las ecuaciones son los coeficientes de correlación simple de Kendall.

Pasos:

  1. Alinear las observaciones de cada variable (X, Y y Z) en función del rango menor al mayor.
  2. Obtener las puntuaciones efectivas (S) en la variable dependiente, en función del orden de ocurrencia de los rangos, con respecto a la variable independiente. Realizarlo por parejas de variables (XY, XZ y ZY) y aplicar las fórmulas de coeficiente de correlación simple por rangos de Kendall y nivel de significancia mediante el valor Z.
  3. Una vez obtenidos los valores de t de Kendall, aplicar las ecuaciones antes dadas, calculando los coeficientes parciales de correlación.
  4. Calcular los grados de libertad (gl) en función del tamaño de la muestra (tripletes, tetrapletes, etc.). gl = N - número de variables.
  5. Obtener el valor de la probabilidad de acuerdo con los valores críticos de la tabla rs del coeficiente de correlación por rangos de Spearman.
  6. Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis.

 


Ejemplo:

En la sección de Coeficiente de correlación simple por rangos de Kendall, se presentó una investigación, en la cual el experimentador estaba interesado en conocer la asociación entre el desarrollo mental de niños con respecto a la educación formal de sus madres. En esta ocasión desea saber si la escolaridad de las madres actúa en el desarrollo mental de los hijos, mediante la estimulación disponible para el niño. Para el caso, además de haber medido el desarrollo mental y la educación de las madres, mide la estimulación en el hogar, con base en aspectos diferentes, como área física disponible para que el niño explore, diversificación de juguetes, afecto de los padres hacia el niño, sensibilidad de los padres ante las necesidades del hijo, permisibilidad del desplazamiento del niño en el hogar, etc. De esta forma, obtiene una calificación de cada niño.

Elección de la prueba estadística.
De las observaciones disponibles por el investigador, dos de las variables pueden corresponder a mediciones cuantitativas y de escala de intervalo; sin embargo, una de ellas, la escolaridad materna, se mide cualitativamente, pero tiene una escala de ordinalidad, por lo cual es necesario transformar en rangos las mediciones de las tres variables. Véase: Flujograma 6

 

Planteamiento de la hipótesis.

  • Hipótesis alterna (Ha). El desarrollo mental de los hijos es una variable dependiente de la estimulación en el hogar y de la educación materna, de manera que habrá correlación significativa en ambas circunstancias. Entre las variables escolaridad materna y estimulación en el hogar, también es muy probable una correlación significativa. En la correlación parcial, al establecer la variable estimulación en el hogar, continuará habiendo correlación significativa, pues la educación materna aún influye. Cuando se establezca la variable desarrollo mental (Y), continuará habiendo una correlación significativa; en cambio, al determinar la educación formal de la madre, en la cual teóricamente no hay cambio, se espera que la correlación entre las variables se pierda. Esto hace pensar que se trata de la variable independiente.
  • Hipótesis nula (Ho). La asociación existente entre las educación materna, la estimulación en el hogar y el desarrollo mental del niño se debe al azar. En virtud de ello, no habrá correlación significativa entre las variables en estudio, ni dependencia o independencia.

 

Nivel de significación.
Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.

Zona de rechazo.
Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Calificaciones de educación materna: tamaño de la muestra = 20.

Aplicación de la prueba estadística.
En principio se ordenan en rangos las observaciones de la tabla anterior.

Arreglo en rangos de las observaciones de la tabla anterior.

De acuerdo con los pasos, el segundo paso consiste en obtener las puntuaciones efectivas, de la forma explicada en la sección Coeficiente de correlación simple por rangos de Kendall.

Sxz = (17 - 1) + (17 - 1) + (17 - 0) + (14 - 2) + (14 - 1) + (13 - 1) + (11 - 2) + (9 - 2) + (9 - 2) + 10 - 0) + (9 - 0) + (5 - 3) + (5 - 2) + (5 - 1) + (0 - 5) + (0 - 4) + (1 - 2) + (0 - 2) + (1 - 0) = 16 + 16 + 17 + 12 + 13 + 12 + 9 + 7 + 7 + 10 + 9 + 7 + 7 + 10 + 9 + 2 + 3 + 4 - 5 - 4 - 1 - 2 + 1 = 126

Sxy = (19 - 0) + (18 - 0) + (15 - 2) + (13 - 3) + (9 - 5) + (14 - 0) + (9 - 4) + (9 - 2) + (7 - 3) + (9 - 1) + (9 - 0) + (7 - 1) + (7 - 0) + (4 - 2) + (5 - 0) + (4 - 0) + (1 - 2) + (2 - 0) + (1 - 0) = 19 + 18 + 13 + 10 + 4 + 14 + 5 + 7 + 4 + 8 + 9 + 6 + 7 + 2 + 5 + 4 - 1 + 2 + 1 = 137

Para obtener la puntuación efectiva de ZY, es necesario ordenar los rangos de Z en forma natural y colocar los correspondientes rangos Y.

Arreglo de los rangos Z, Y.

Szy = (15 - 4) + (18 - 0) + (17 - 0) + (14 - 2) + (9 - 5) + (12 - 2) + (13 - 0) + (12 - 0) + (9 - 2) + (9 - 0) + (7 - 1) + (2 - 6) + (4 - 3) + (6 - 0) + (5 - 0) + (0 - 4) + (0 - 3) + (0 - 2) + (0 - 1) = 9 + 18 + 17 + 12 + 4 + 10 + 13 + 12 + 7 + 9 + 6 - 4 + 1 + 6 + 5 - 4 - 3 - 2 - 1 = 115

En virtud de que las variables estudiadas tienen un número de muestras igual a 20, con varias ligas o empates entre los rangos de las observaciones, se debe aplicar la ecuación SLi = 1/2 SLi(Li - 1). Por lo tanto, es necesario localizar las ligas.

Lx = 1.5 - 1.5, 4.5 - 4.5, 10.5 - 10.5 - 10.5 - 10.5, 4.5 - 4.5
Lz = 10.5 - 10.5
Ly = 8.5 - 8.5, 10.5 - 10.5, 12.5 - 12.5

Entonces pasamos a aplicar la fórmula para ajustar las ligas o empates.

SLx = 1/2 2(2 - 1) + 2(2 - 1) + 4(4 - 1) + 2(2 - 1) = 9
SLz = 1/2 2(2 - 1) = 1
SLy = 1/2 2(2 - 1) + 2(2 - 1) + 2(2 - 1) = 3

Una vez obtenidos los valores de la puntuación efectiva (S) y la sumatoria de las ligas, se calcula la t de Kendall simple para cada par de variables, mediante la siguiente ecuación:

Una vez calculados los coeficientes de correlación t de Kendall para cada par de variables, se aplican las ecuaciones parciales de correlación de Kendall.

Una vez finiquitado el cálculo de los coeficientes de correlación parcial, determinamos la probabilidad y lo comparamos con los críticos de la tabla de rs del coeficiente de correlación por rangos de Spearman ó, en su defecto, mediante la ecuación siguiente:

Calculamos los grados de libertad, de acuerdo con lo anotado en los pasos.
gl = tamaño de la muestra en tripletes - número de variables = 20 - 3 = 17

Para fines prácticos de toma de decisión, elaboramos la tabla siguiente:


* No significativa p (mayor que 0.05).

Decisión.
Para todos los valores de probabilidad menores que 0.05, se acepta Ha (correlación simple de XY, XZ y ZY y correlación parcial de XY·Z y XZ·Y) y se rechaza Ho. En el caso de la correlación parcial de ZY·X, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Interpretación.
La tabla anterior muestra que la correlación simple de Kendall entre la educación formal de la madre y el desarrollo mental tiene una correlación al nivel de confianza de p menor que 0.01. La pregunta clave es: ¿qué tan estrechamente dependen las variables educación materna y desarrollo mental del niño cuando la estimulación en el hogar se mantiene sin cambios (también a cualquier calificación de estimulación)? Existe una correlación significativa, que se complementa simultáneamente. La correlación se conserva al mismo nivel que cuando se correlacionan de manera simple.

La correlación de educación materna y estimulación en el hogar, manteniendo constante el desarrollo mental del niño, se mantiene a un nivel mayor que la correlación simple, pero de todas maneras significativamente. Esto significa que las variables XZ dependen de algún modo del desarrollo mental. Parecería que en el desarrollo mental intervienen otros factores, como el hereditario, más que los factores del microambiente familiar. Dicho de otra forma: el desarrollo mental del niño se conduce genéticamente, pero después es continuado para resultar favorable con las variables educación materna y estimulación en el hogar, que las hace indispensables para su evolución, pero de alguna manera independientes.

Por último, la correlación estimulación en el hogar y desarrollo mental, cuando la educación materna se mantiene sin cambios, se pierde.

En este ejemplo se percibió la existencia de dos variables independientes y la única dependiente es la escolaridad materna.

 


Coeficiente de concordancia de Kendall

Este procedimiento estadístico tiene una expresión más general para medir la asociación entre diversas variables, y no es tan específico como la correlación parcial de Kendall.

En la presente prueba estadística se utilizarán tres fórmulas, en las cuales el coeficiente de concordancia de Kendall se simboliza como w:

Donde:
w = coeficiente de concordancia de Kendall.
S = suma de los cuadrados de las diferencias observadas con respecto a un promedio.
N = Tamaño de la muestra en función del número de tripletes, tetrapletes, quintupletes, etc.
K = número de variables incluidas.
Li = sumatoria de las ligas o empates entre los rangos.

El ajuste dado por las ligas o empates entre los rangos se calcula de la siguiente manera:

Donde:
L = valor de ligas existentes.

En virtud de que para conocer la probabilidad de significancia del valor estadístico de Kendall (w) se debe convertir éste en valor de ji cuadrada de Pearson, para utilizar las tablas de distribución relacionadas con este estadístico, se presenta la siguiente ecuación:

X2 = K (N - 1) w Donde:
X2 = valor estadístico de ji cuadrada de Pearson.
K = número de variables incluidas en el análisis.
N = tamaño de la muestra en tripletes, tetrapletes, etc.

Pasos:

  1. Ordenar las observaciones por rangos, en función de la posible variable independiente.
  2. Efectuar la sumatoria de los rangos en función de cada variable.
  3. Obtener la sumatoria de la sumatoria anterior y obtener un promedio.
  4. Calcular las diferencias obtenidas entre la sumatoria y el promedio, elevarlas al cuadrado y sumarlas. Lo anterior es el valor S.
  5. Aplicar la ecuación para obtener el ajuste dado por las ligas o empates.
  6. Aplicar a ecuación coeficiente de concordancia de Kendall (w).
  7. Transformar w en ji cuadrada y calcular los grados de libertad (gl). gl = N - 1.
  8. Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis.

Ejemplo:

Utilizaremos el ejemplo hecho para el Coeficiente de correlación parcial por rangos de Kendall.

Elección de la prueba estadística.
Se desea medir la asociación o correlación. Las observaciones de la siguiente tabla, por las razones expuestas en el ejemplo de la sección Coeficiente de correlación simple por rangos de Spearman, se deben transformar en rangos, por la escala ordinal en que se presenta la variable educación formal de la madre. Al respecto, Véase: Flujograma 6, el cual muestra como alternativa el coeficiente de concordancia de Kendall cuando se tienen más de dos variables.

 

Planteamiento de la hipótesis.

  • Hipótesis alterna (Ha). Existe una asociación entre las variables educación formal de la madre, estimulación disponible en el hogar para el niño y desarrollo mental del hijo.
  • Hipótesis nula (Ho). Entre las variables citadas no existe correlación o asociación.

 

Nivel de significación.
Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.

Zona de rechazo.
Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Aplicación de la prueba estadística.
Para empezar se elabora la siguiente tabla.

Arreglo en rangos de las observaciones.

*Ligas o empates.

Una vez calculados los valores de S y Li, se aplica la siguiente ecuación.

La transformación del valor w en ji cuadrada de Pearson, mediante la siguiente ecuación:

X2 = K (N - 1) w = 3x (20 - 1)x 0.844 = 48.108

Cálculo de los grados de libertad (gl).
gl = N - 1 = 20 -1 = 19

El valor transformado de w en X2, con 19 grados de libertad, se compara con los valores críticos de la distribución de este estadístico. Se puede apreciar que con 19 gl existen los valores 30.14, que es igual a 0.05 de probabilidad, y 43.82, con una probabilidad de 0.001. Esto significa que en el calculado, la probabilidad es aún menor que 0.001.

Decisión.
Como el valor transformado de w en X2 le corresponde una probabilidad menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.

Interpretación.
Entre las tres variables estudiadas existe una correlación significativa al nivel de confianza de p menor que 0.001, cuya variable independiente es la escolaridad de la madre.

De la sumatoria de rangos (total = 580) se obtiene el promedio siguiente:

Posteriormente se calcula el valor S, que corresponde a la suma de las diferencias con respecto al promedio y éstas se elevan al cuadrado, de la forma siguiente:

S = (4.5 - 29)2 + (6.5 - 29)2 + (9 - 29)2 + ... (56 - 29)2 = 5028.5

Ahora se realiza el cálculo del ajuste dado por las ligas o empares, que se marcan en la tabla con un asterisco.

Variable X: 1.5 - 1.5, 4.5 - 4.5, 10.5 - 10.5 - 10.5 - 10.5, 14.5 - 14.5

 

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Los investigadores, dirigidos por Murat Yücel, realizaron imágenes de resonancia magnética estructural de alta resolución realizadas en 15 hombres con una media de edad de 40 años que habían fumado más de cinco cigarrillos de marihuana al día durante más de 10 años. Sus resultados se compararon con imágenes de 16 individuos, con una media de 36 años, que nunca habían consumido cannabis. Todos los participantes realizaron una prueba de memoria verbal y fueron evaluados en relación a un umbral de síntomas por debajo del estándar del diagnóstico de enfermedad de trastornos psicóticos, que incluye la esquizofrenia y la manía.
El hipocampo, que se cree regula la emoción y la memoria, y la amígdala, que participa en el miedo y la agresión, tendían a ser más pequeños en los consumidores de cannabis que en los controles con un volumen reducido en una media del 12 por ciento en el hipocampo y del 7,1 por ciento de la amígdala.

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