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Prueba del valor Z de la distribución normal

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Como sabemos, la curva normal de frecuencias tiene la forma de campana, en cuyo centro se ubican tres medidas de tendencia central (promedio [media aritmética], mediana y moda). En particular, el promedio o media aritmética es la medida representativa de un universo muestral, mientras que a los lados de este valor se encuentran valores más altos y más bajos, aproximadamente la mitad para cada lado, los cuales se dispersan según una medida denominada desviación estándar.

El valor Z se define matemáticamente con la fórmula:

Donde:
Z = valor estadístico de la curva normal de frecuencias.
X = cualquier valor de una muestra estadística.
= promedio o media aritmética obtenido de la muestra estadística, valor representativo.
s = desviación estándar.

Pasos:

  1. Calcular el promedio y la desviación estándar de las observaciones de la muestra en estudio.
  2. Del valor del cual se desea obtener una inferencia estadística, calcular la diferencia que existe con respecto al promedio: X - .
  3. Dividir la diferencia calculada entre la desviación estándar obtenida de la muestra en estudio, que corresponde al valor Z.
  4. Localizar el valor Z calculado, en la tabla de probabilidades asociadas con valores tan extremos como los valores observados de Z en la distribución normal y obtener la probabilidad de que exista una magnitud de discrepancia entre los valores X y .
  5. Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis.

 

 


Ejemplo:

Un médico que labora en una población acostumbra efectuar mediciones de peso y talla a sus pacientes, de los cuales dos tienen pesos que difieren de las tres medidas de tendencia central, pero particularmente del promedio. El médico está interesado en saber si los pesos de sus dos pacientes corresponden a esa población y qué tanto difieren de la representación de su grupo de asistencia médica y de estudio.

Los pesos corporales de la población estudiada se encuentran listados del más bajo al más alto en la tabla siguiente, y el médico ha marcado los puntos donde se localizan la media aritmética, la mediana y la moda. Los pesos de sus pacientes problema son de 54 y 80 kg.

Pacientes adultos de tallas similares que asisten a consulta médica.

Elección de la prueba estadística.
El modelo de investigación tiene una muestra. Las mediciones de la tabla anterior son cuantitativas, de variable continua, por lo tanto, tienen una escala de intervalo. Los intervalos entre un peso menor y otro mayor y entre todos los valores parecen no diferir notoriamente y permiten suponer que se distribuyen normalmente. Véase: Estadística/Flujogramas/Flujograma 1

 

Planteamiento de la hipótesis.

  • Hipótesis alterna (Ha). Los pesos corporales de los dos sujetos de investigación y asistencia médica (54 y 80 kg) difieren significativamente del promedio, por lo tanto, no corresponden a la población.
  • Hipótesis nula (Ho). Las diferencias de los pesos de los sujetos de estudio se deben al azar, por lo cual no hay diferencias significativas y corresponden a la misma población.

 

 

Nivel de significación.
Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.

Zona de rechazo.
Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Aplicación de la prueba estadística.
Tomando en cuenta los paso, se calcula el promedio o media aritmética. De acuerdo con la siguiente fórmula:

La desviación estándar se calcula con la ecuación siguiente:

Una vez calculados el promedio y la desviación estándar, se calcula el valor Z.

En la tabla de probabilidades asociadas en valores extremos como los de 2 en la distribución normal, se busca la localización de los valores Z1 y Z2 calculados, a fin de obtener la probabilidad de su magnitud de discrepancia con respecto a la media aritmética.

El primer valor de Z1 es 1.69, de modo que se localiza el 1.6 y en la intersección de la columna 0.09, correspondiente a las centésimas, se observa el valor 0.0455. Esta es la probabilidad de que el valor 54 kg pertenezca a la población de pesos corporales, donde el promedio es 73.2 kg y la desviación estándar 11.39 kg.

El segundo valor de Z2 es 0.6, de manera que en la tabla se observa esa cifra y en la intersección de la columna 0.00 se halla el valor 0.2743.

Decisión.
El valor de Z1 tiene una probabilidad menor que la de significancia. Para este caso, se acepta Ha y se rechaza Ho. Para el valor de Z2, la probabilidad es aproximadamente de 0.27, pero de cualquier manera mayor que el nivel de significancia, el cual se ubica en la zona de rechazo. Se acepta Ho y se rechaza Ha.

Interpretación.
El peso del individuo que tiene 54 kg difiere notoriamente del promedio, que es la representativa de esa población, a un nivel de confianza menor que 0.05; en cambio, el otro sujeto sólo difiere a un nivel mayor que 0.05 de confianza, lo cual significa que está dentro de la población de tallas similares.

La siguiente figura contiene tanto el polígono de frecuencias en función de una serie de clases elaboradas con las observaciones de 150 pesos corporales, como los límites de las desviaciones estándar con respecto al promedio. Los valores Z de los dos pesos problema se dibujan con dos flechas, de acuerdo con los valores de peso que corresponden. La Z1 se encuentra muy por fuera de -1 desviación estándar y muy cercana a -2 desviaciones estándar. Para ser más precisos, tiene 1.69 desviaciones estándar, igual al valor Z; en cambio, el valor Z2 tiene 0.6 desviaciones estándar y aún se encuentra dentro del límite de +1 desviación estándar. Cabe recordar que +1 y -1 desviaciones estándar se encuentran aproximadamente en el 68% de las mediciones.

Con todo lo anterior se comprende el significado del valor Z en la curva normal de frecuencias: es el número de desviaciones estándar que se desvían con respecto al promedio o media aritmética.

 

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